المحتوى
يأتي فهمنا الحديث للأمور الأساسية من أعمال جورج كانتور في التسعينيات من القرن التاسع عشر. قد يكون للمجموعات المحددة عدد محدد ، مثل أصلها: عدد العناصر في المجموعة. مجموعات لا تعد ولا تحصى لا حصر لها. كانت كانتور أول عالم رياضيات يشير إلى أن سمة المجموعة اللانهائية هي أنه يمكن وضعها في مراسلات فردية مع مجموعة فرعية خاصة بها.
الاتجاهات
-
أعط رقمًا محددًا لمجموعة من العناصر الأساسية إذا كانت محدودة. بالنسبة لهذه المجموعات ، فإن العدد الأساسي هو عدد الكائنات الموجودة داخلها. بالنسبة إلى ما لا نهاية ، من المستحيل تعيين رقم محدد للأزواج - لا يمكننا استخدام سوى كلمة وصفية واحدة. مجموعة فرعية من مجموعة هي مجموعة تحتوي على بعض - وليس كل - الأرقام المحددة ، ولكن لا تحتوي على أرقام. على سبيل المثال ، مجموعة فرعية من الأحرف في الأبجدية البرتغالية هي الأحرف في كلمة "banana". بالنسبة للمجموعات المحدودة ، تكون المجموعات الفرعية المناسبة أصغر من المجموعة. وهذا ليس صحيحا للمجموعات لانهائية.
-
ابدأ بعنصر معين من المجموعة واحتفظ إلى الأبد ، بطريقة محددة ، بتعداد جميع عناصر المجموعة. هذا هو تعريف المحاسبة لمجموعة لانهائية. الميزة الرئيسية هي أن هناك خوارزمية لسرد جميع العناصر إلى الأبد. المجموعة اللانهائية التي لا تعد ولا تحصى هي مجموعة الأعداد الصحيحة. ابدأ بـ "واحد" وتابع الرقم التسلسلي التالي. لا يمكنك إعطاء رقم أصل ، ستقول فقط إنه أبدي. لاحظ أنه لكل عدد صحيح يوجد رقم زوجي مكافئ سيكون ضعف هذا العدد. هناك العديد من الأعداد الصحيحة كما توجد أرقام. هناك تطابق فردي بين المجموعة ومجموعة فرعية مناسبة من هذه المجموعة.
-
قارن مجموعة بالأرقام بين صفر وواحد ، لمعرفة ما إذا كان عدد لا حصر له لا حصر له. لا يمكنك البدء في حسابهم لأنه لا يوجد رقم "التالي" بعد عدد يتراوح بين صفر واحد. أعطى كانتور مثالاً للمساعدة في فهم حدسي لمجموعات لا حصر لها: النقاط والخطوط. النقاط ليست طويلة أو واسعة ، حتى إذا كان الخط يتكون من نقاط. إذا كانت الخطوط لا نهائية للنقاط ، فسيكون طول الخط 0 + 0 + 0 وما إلى ذلك ، إلى الأبد. يجب أن تحتوي الخطوط على عدد لا يحصى من النقاط.
نصائح
- يتمثل اختبار Cantor في معرفة ما إذا كانت مجموعتان تتمتعان بنفس العلاقة ، إذا كان يمكن مطابقة عناصر المجموعة واحدة تلو الأخرى.
تحذير
- سوف يعمل الحساب فقط لمجموعات محدودة. إذا كانت N لا حصر لها ولا حصر لها ، N + 1 = 200N = N + N = N.