اشتقاق اللوغاريتمات الطبيعية والأسية

المحتوى

• الاتجاهات
• تمايز ه ^ (س)
• مشتق من ln (x)
• نصائح

الاشتقاق هو عنصر حاسم في حساب التفاضل والتكامل وغيرها من مستويات أعلى من الرياضيات. يصف كيف تتغير وظيفة معينة بالنسبة لقيم الإدخال الخاصة بها. على سبيل المثال ، يصف اشتقاق دالة خطية للنموذج y = mx + b كيف يتم تعديل y فيما يتعلق x ، وتسمى أيضًا strand. ومع ذلك ، في الرياضيات الأكثر تقدمًا ، يمكن فحصها للحصول على تعبيرات أكثر تعقيدًا ، مثل الدالة الأسية الطبيعية e (x) ووظيفة اللوغاريتم الطبيعي ln (x). اشتقاق نوعي التعبيرات بسيط للغاية ويمكن تطبيقه في جميع الحالات تقريبًا التي تتضمن كل تعبير.

الاتجاهات

تعلم استخلاص تعبيرات أكثر تعقيدًا (سياران جريفين / ستوكبايت / غيتي إيماجز)

تمايز ه ^ (س)

1. اكتب المعادلة التي يجب استخلاصها. على سبيل المثال ، اشتقاق f (x) = e ^ (2x).

2. حدد القاعدة العامة لاشتقاق الأسي الطبيعي y ، والتي تُعطى كـ (d / dx) و ^ x = e ^ x. مشتق من ^ ^ هو نفسه.

3. قم بتطبيق القاعدة للدالة المتداخلة من النوع العام و ^ (الفأس) ، حيث (أ) رقم حقيقي. في هذه المشكلات ، يوجد أساسًا وظيفتان: الوظيفة الخارجية مع e ^ ax والدالة المتداخلة (ax). القاعدة هي أن مشتق f (x) = e ^ (ax) لبعض الأرقام الحقيقية (a) هو f (x) = (d / dx) (ax) * (d / dx) e (ax)؛ وبالتالي ، مشتق e ^ (ax) هو نفسه ، مضروب في مشتق القيمة الأسية (ax) ، وهو (a).

4. تطبيق القواعد في المعادلة. باستخدام المثال ، مشتق e ^ 2x هو مشتق المتغير الأسي (2x) مضروب في مشتق التعبير نفسه (e ^ 2x). ينظر إليها على أنها:

   
   

   F (x) = e ^ (2x)

   F '(x) = 2e (2x)

مشتق من ln (x)

1. اكتب المعادلة التي يجب استخلاصها. على سبيل المثال ، اشتقاق f (x) = ln (3x).

2. حدد القاعدة العامة لمشتق السجل الطبيعي ، والذي يُعطى كـ (d / dx) ln (x) = 1 / x. مشتق ln (x) هو 1 / x.

3. قم بتطبيق القاعدة على الوظيفة المتداخلة لـ ln (ax) ، حيث (a) رقم حقيقي. كما هو الحال مع الدالة الأسية ، إذا كانت هناك معادلة متداخلة (ax) ضمن المعادلة ln (ax) ، فيجب تقييم مشتق المعادلة المتداخلة والمعادلة بأكملها. وبالتالي ، فإن مشتق الشكل العام ln (ax) هو مشتق الدالة بأكملها [(d / dx) ln (ax) = 1 / ax] مضروب في مشتق الدالة المتداخلة [(d / dx) ax = a] إعطاء النتيجة كـ f (x) = a / ax.

4. قم بتطبيق كلا القواعد للدالة المراد اشتقاقها. باستخدام f (x) = ln (3x) ، مشتق الدالة الخارجية (ln (3x)) ، مضروب في الدالة الداخلية أو المتداخلة (3x) ، يعطي نتيجة f (x) = 3 / (3x). في هذه الحالة بالذات ، يتم إلغاء القيم الثلاث ، مما يؤدي إلى استجابة نهائية لـ f (x) = 1 / x.

   
   

نصائح

• سيتم استخدام القواعد العامة للمشتقات إلى حد ما في جميع الحالات تقريبًا ، على الرغم من أنه قد تكون هناك حاجة إلى إجراءات إضافية ، اعتمادًا على نوع المعادلة ، كما يمكن ملاحظته في أمثلة المعادلة المتداخلة.