المحتوى
سلسلة تايلور هي تمثيل وظيفة عن طريق مبلغ لا حصر له. تقرب أجهزة الكمبيوتر عمومًا من قيم الدالة المثلثية أو الأسية أو أي وظيفة أخرى متجاوزة بواسطة عدد محدد من المصطلحات في سلسلة تايلور المقابلة ، ويمكنك إعادة إنشاء هذه العملية في بيثون. تستند شروط المجموع إلى مشتقات متتالية من الوظيفة ، وبالتالي تحتاج إلى تحديد نمط في قيمها لكتابة صيغة لكل مصطلح في السلسلة. ثم ستستخدم حلقة لتجميع المبلغ ، والتحكم في دقة التقريب الخاص بك مع عدد التكرارات.
الاتجاهات
-
الرجوع إلى تعريف سلسلة تايلور لفهم كيف يمكن حساب كل مصطلح. تتم فهرسة كل منها ، عادةً بحرف "n" ، وتتعلق قيمتها بمشتق ترتيب "n" الخاص بالوظيفة التي سيتم تمثيلها. للبساطة ، استخدم 0 لقيمة "a" في المحاولة الأولى. هذه النسخة الخاصة من سلسلة تايلور تسمى "سلسلة ماكلورين". استخدم الدالة "الجيب" ، حيث من السهل تحديد المشتقات المتعاقبة.
-
اكتب عدة قيم للمشتق "n" لوظيفة الجيب الذي تم تقييمه إلى 0. إذا كانت "n" تساوي 0 ، ستكون القيمة 0. بالنسبة إلى n = 1 ، ستكون القيمة 1. في الحالة n = 2 ، ستكون القيمة 0. عندما تكون n = 3 ، ستكون القيمة -1. يتكرر النموذج من هنا ، بحيث يمكنك إزالة جميع المصطلحات ذات الأرقام الزوجية في سلسلة Taylor ، حيث سيتم ضربها ب 0. الصيغة لكل مصطلح في السلسلة الناتجة ستكون:
(1n) 2n + (2n + 1)
إذا تم استخدام "2n + 1" بدلاً من "n" لإعادة سلسلة ، فعليًا التخلص من مصطلحات الفهرسة دون تغيير الفهارس نفسها. يسمح العامل "(-1) ^ n" بتغيير علامة المصطلحات المتتالية. قد يبدو هذا الدرس الرياضي غريبًا ، لكن كود بيثون سيكون أسهل بكثير في الكتابة وإعادة الاستخدام في سلاسل أخرى إذا كان الفهرس يبدأ دائمًا عند 0 ويتزايد بمقدار 1.
-
افتح مترجم بايثون. ابدأ بإدخال الأوامر التالية لتحديد المتغيرات:
مجموع = 0x = .5236
سيتم استخدام متغير المبلغ لتجميع مجموع سلسلة تايلور مع كل تكرار لمصطلح الحساب. المتغير "x" هو الزاوية (بالراديان) التي تريد تقريب الوظيفة الجيبية لها. قم بتعيين قيمة أخرى إذا كنت تريد.
-
قم باستيراد الوحدة النمطية "math" ، باستخدام الأمر أدناه ، للوصول إلى وظائف "pow" (power) و "factorial" (factorial):
استيراد الرياضيات
-
افتح حلقة "for" ، مع تحديد مقدار التفاعلات مع وظيفة "النطاق":
بالنسبة إلى n في النطاق (4):
سيؤدي ذلك إلى بدء تشغيل متغير المؤشر ، n ، عند 0 وتزايده إلى 4. وسيؤدي هذا المقدار المنخفض من التكرار إلى نتيجة دقيقة بشكل مدهش. لن يتم تنفيذ الحلقة فورًا ولن تبدأ حتى تحدد كتلة التعليمات البرمجية للتكرار.
-
أدخل الأمر التالي لتجميع قيمة كل مصطلح متتالي إلى المتغير "sum":
sum + = math.pow (-1، n) /math.factorial (2ن + 1)math.pow (x ، 2 * n + 1)
يجب أن يحتوي الأمر على مسافة قبله للإشارة إلى Python بأنها جزء من حلقة "for". لاحظ أيضًا أنه يتم استخدام الدالتين "pow" و "factorial" بدلاً من "^" و "!". الصيغة الموجودة على يمين مشغل المهمة "+ =" مطابقة لتلك الموجودة في الخطوة 2 ، ولكنها مكتوبة باستخدام بناء جملة Python.
-
اضغط على "أدخل" لإضافة سطر فارغ. سيقوم Python بتفسير هذا على أنه نهاية حلقة "for" وإجراء العمليات الحسابية. أدخل الأمر "sum" للكشف عن النتيجة. بالنسبة لقيمة "x" الواردة في الخطوة 3 ، ستكون النتيجة قريبة جدًا من 0.5 ، وهي قيمة جيب pi / 6. حاول مرة أخرى بقيم مختلفة لـ "x" ولعدد مختلف من التكرارات للحلقة ، وقارن النتائج مع دالة "math.sin (x)". لقد طبقت للتو في Python نفس العملية التي تستخدمها العديد من أجهزة الكمبيوتر لحساب القيم للجيب وغيرها من الوظائف التجاوزي.
نصائح
- اترك مسافة وأدخل الأمر "sum" في السطر الثاني من حلقة "for" بحيث يتم عرض نتيجة تنفيذ التعليمات البرمجية. سيوضح هذا كيف أن كل مصطلح متتالي في السلسلة يقارب زائد وناقص القيمة الفعلية للدالة.